காக்ரேகர் எண்...

'காப்ரேகர்' (Kaprekar) என்னும் பெயரைக் கேள்விப்பட்டிருக்கிறீர்களா? இவர் ஐரோப்பிய நாடுகளைச் சேர்ந்தவரோ, வேறு தேசத்தைச் சேர்ந்தவரோ கிடையாது. இவர் ஒரு இந்தியர். மும்பாயின் ஒரு கிராமத்தில் பிறந்தவர். 'ராமச்சந்திர காப்ரேகர்' என்பது இவரின் முழுமையான பெயர். இவர் ஒரு கணித மேதை. மேற்குலகம் வியப்புடன் பார்க்கும் ஒரு ஆச்சரியமான கணிதவியலாளர். டிஜிட்டல் இந்தியா என்றதும் பரவசப்படும் இளைஞர்களில் பலருக்கு, மேற்குலகமே வியந்து பாராட்டிக்கொண்டிருக்கும் இந்திய அறிவியலாளர்கள்பற்றி அதிகம் தெரிந்திருப்பதில்லையென்பதே மறுக்க முடியாத உண்மை. அந்த அறிவியலாளர்களுக்கு அரசியலில் எந்தவொரு ஆளுமையும் இல்லாமல், அறிவியலில் மட்டும் ஆளுமை இருந்ததால், தன் சொந்த நாட்டில், சொந்த இடத்தில் மறக்கப்பட்டவர்களாகிவிடுகின்றனர்.

காப்ரேகர் கண்டுபிடித்த ‘காப்ரேகர் எண்கள்’ (Kaprekar Numbers) என்பது கணிதத்தில் பிரபலமானது. உதாரணமாக, 703 என்பது ஒரு காப்ரேகர் எண்ணாகும். இதன் விசேசத்தன்மை என்னவென்றால், இந்த எண்ணின் வர்க்கம், அதாவது இந்த எண்ணை இதே எண்ணால் பெருக்கிவரும் பெரிய எண்ணை, இரண்டு பகுதிகளாகப் பிரித்து, அவற்றை ஒன்றுடன் ஒன்று கூட்டினால், ஆரம்ப எண் வரும்.  சரி இதைப் பாருங்கள்.

703X703=494209  அல்லவா?    இதில் வரும் 494209 என்பதை எடுத்து, அதை 494 மற்றும் 209 ஆகப் பிரியுங்கள். இப்போது, இவையிரண்டையும் கூட்டுங்கள்.
494+209=703. மீண்டும் ஆரம்ப எண்ணான 703 மீண்டும் வருகிறதல்லவா? எனவே 703 ஒரு காப்ரேகர் எண்ணாகும்.

இப்படி 9, 45, 55, 99, 297….. என்பவை வரிசையாக காப்ரேகர் எண்களாகும். நீங்களே இவற்றின் வர்க்கத்தை எடுத்துச் செய்துபாருங்கள்.

ஆனால், நான் இங்கு சொல்ல வந்தது காப்ரேகர் எண்களைப்பற்றியல்ல. காப்ரேகரின் புகழைச் சொல்வது, ‘காப்ரேகர் எண்கள்’ மட்டுமல்ல, ‘காப்ரேகர் மாறிலி’ (Kaprekar’s Constant) என்பதும்தான். 'காப்ரேகர் மாறிலி' என்பது மிகவும் ஆச்சரியமான ஒரு எண். இந்த எண்ணை அடிப்படையாக வைத்து, எழுத்தாளர் ‘சுதாகர் கஸ்தூரி’ (Sudhakar Kasturi), '6174' என்று ஒரு அருமையான நாவலையும் எழுதியிருக்கிறார்.

அந்த எண் 6174.

'6174' ஒரு அதிசய எண். இந்த அதிசய எண்ணைக் கண்டுபிடித்தவர் காப்ரேகர். 'சரி இந்த எண்ணில் அப்படி என்ன அதிசயம் இருக்கிறது?' என்றறிய ஆவலாக இருக்கிறதா?
அதைப் பார்க்கலாம் வாருங்கள்……..

காப்ரேகர் சொன்னது இதுதான், "6174 என்னும் எண்ணில் உள்ள இலக்கங்களை முதலில் இறங்குவரிசையாகவும், ஏறுவரிசையாகவும் வரும் எண்களாக மாற்றி எழுதிக்கொள்ளுங்கள். பின்னர் இறங்குவரிசை எண்ணிலிருந்து ஏறுவரிசை எண்ணைக் கழியுங்கள். அப்போது மீண்டும் அதே 6174 என்னும் எண் வரும்".

அது என்ன இறங்குவரிசை எண், ஏறுவரிசை எண்? பெரிய இலக்கத்திலிருந்து சின்ன இலக்கம்வரை வரிசையாக எழுதுவது இறங்குவரிசை எண். சின்ன இலக்கத்திலிருந்து பெரிய இலக்கம்வரை வரிசையாக எழுதுவது ஏறுவரிசை எண். அவ்வளவுதான். இதன்படி, 6174 இன் இறங்குவரிசை எண் 7641, அதன் ஏறுவரிசை எண் 1467.

காப்ரேகர் சொன்னதுபோல, இறங்குவரிசை எண்ணிலிருந்து, ஏறுவரிசை எண்ணைக் கழிப்போம்.

7641-1467=6174.

அதாவது 6174 என்னும் எண்ணின் இ.வ. எண்ணிலிருந்து, ஏ.வ.எண்ணைக் கழித்தால் அதே 6174 மீண்டும் வரும்.

இத்துடன் முடிந்துவிடவில்லை '6174' தரும் ஆச்சரியங்கள்.

நான்கு இலக்கங்களைக்கொண்ட எந்த இலக்கத்தையும் நீங்கள் எடுத்துக்கொள்ளுங்கள். சரி, உதாரணமாக 8539 என்னும் எண்ணை எடுத்துக் கொள்வோம். அதை இ.வ.எ, ஏ.வ.எ என மாற்றிக் கழித்துக்கொள்வோம்.

9853-3589=6264

இப்போது 6264 என்பதை மீண்டும் இ.வ.எ, ஏ.வ.எ ஆக மாற்றிக் கழித்துக்கொள்வோம்.

6642-2466=4176 

இந்த எண்ணுக்கும் அதேபோலச் செய்தால்,

7641-1467=6174 

இறுதியாக நாம் பெறுவது 6174 என்னும் எண்ணாகவே இருக்கும். இப்போது 6174 ஐ நாம் வரிசைப்படுத்தினால், அது 6174 ஆகவே இருக்கும். இந்த எண் மீண்டும் மீண்டும் நம்மை அதன் சுழலில் இழுத்துக்கொண்டிருப்பதால், இதைக் 'கருந்துளை எண்' (Blackhole) என்றும் சொல்வார்கள்.

நீங்கள் 9999 க்குக் கீழே உள்ள நான்கு இலக்கங்களைக் கொண்ட எந்த எண்ணை எடுத்தும் (1111, 2222, 3333.......9999 எண்களும், சில விதிவிலக்கு எண்களும்  இவற்றில் அடங்காது) அதனை இ.வ.எண், ஏ.வ.எண் ஆகப் படிப்படியாக மாற்றினால் உங்களுக்கு இறுதியில் கிடைப்பது 6174 என்னும் எண்ணாகவே இருக்கும். அதிகப்படியாக ஏழாவது படியில் 6174 எண் உங்களுக்கு விடையாகக் கிடைக்கும். முடிந்தவரை பல எண்களை இப்படி முயற்சிசெய்து பாருங்கள். எப்போதும் 6174 என்னும் எண் வந்து உங்களை அணைத்துக் கொள்ளும். அதனால்தான் '6174' என்பதை 'காப்ரேகரின் மாறிலி' என்பார்கள்.

மூன்று இலக்க எண்களுக்கான காப்ரேகரின் மாறிலி எண் 495 ஆகும்.